Keistimewaan tersebut cukup membantu
dalam mencari kemungkinan dari bentuk umum sebuah barisan yang diketahui
beberapa suku pertamanya. Langkah-langkah untuk mencari kemungkinan bentuk umum
barisan tersebut salah satunya adalah:
- Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
- Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta.
- Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan salah satu suku konstanta yang dihasilkan adalah p, maka dimungkinkan barisan utama tersebut mengandung komponen polinom : .
- Hapus komponen polinom yang diperoleh dari langkah ke 3 dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 3. Kemudian ulangi dari langkah 1 dengan barisan utama yang baru (setelah dihilangkan komponen polinom yang diperoleh dari langkah 3).
- Kemungkinan rumus umum barisan yang kita cari adalah jumlah semua komponen yang diperoleh di langkah ke 3 ditambah salah satu suku barisan konstanta paling akhir (barisan utama baru terakhir).
Contoh
Penggunaan Algoritma
Misalkan kita mencoba mencari salah
satu kemungkinan rumus umum dari barisan bilangan 0, 0, 0, 6, ...
- 0, 0, 0, 6, .... bukan barisan konstanta maka,
0-0,0-0,6-0, ... atau 0, 0, 6,
.... barisan selisih suku ke 1
0-0,6-0, ... atau 0, 6, ...
barisan selisih ke 2
6-0, ... atau 6 ... barisan
selisih ke 3 kita anggap barisan konstanta
|
- ada 3 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen .
- Barisan n3 adalah 1, 8, 27, 64, ... kita hilangkan dari 0, 0, 0, 6, ... akan menghasilkan barisan 0-1,0-8,0-27,6-64,... atau -1, -8, -27, -58, ...
- -1, -8, -27, -58, ... bukan barisan konstanta maka,
-8+1,-27+8,-58+27, ... atau -7,
-19, -31, .... barisan selisih suku ke 1
-19+7,-31+19, ... atau -12, -12,
... barisan selisih ke 2 berupa barisan konstanta
|
- ada 2 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen .
- Barisan -6n2 adalah -6, -24, -54, -96, ... hilangkan dari -1, -8, -27, -58, ... hasilnya -1+6,-8+24,-27+54,-58+96,... atau 5, 16, 27, 38, ...
- 5, 16, 27, 38, .... bukan barisan konstanta maka,
16-5,27-16,38-27, ... atau 11, 11,
11, .... barisan selisih suku ke 1 berupa barisan konstanta
|
- ada 1 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen .
- Barisan 11n adalah 11, 22, 33, 44, ... hilangkan dari 5, 16, 27, 38, ... hasilnya barisan 5-11,16-22,27-33,38-44,... atau -6, -6, -6, -6, ...
- -6, -6, -6, -6, .... adalah barisan konstanta.
Kemungkinan rumus umum barisan 0, 0,
0, 6, ... adalah Un = n3 - 6n2 + 11n - 6
Manfaat
Algoritma
Dalam kehidupan seringkali kita
berusaha melihat keteraturan menjadi jelas dan dapat diprediksi. Data
keteraturan yang dapat dinyatakan dengan bilangan dalam interval yang sama
dengan kurun waktu tertentu akan membentuk sebuah barisan.
Barisan tersebut selalu mempunyai
multi penafsiran untuk data-data yang belum terlampaui. Untuk menentukan
kemungkinan pola keteraturan data tersebut sebagai alternatif prediksi dapat
digunakan algoritme di atas.
Melalui algoritma ini dapat dengan
banyak cara untuk mencari kemungkinan aturan suku suatu barisan, diantaranya
Menambah
pada beberapa suku berikutnya
Misalnya ada barisan bilangan 2,
4, 6, .... maka kita dapat menentukan kemungkinan rumus umum barisan
dengan tiga suku tersebut menggunakan algoritma.
Untuk mendapatkan kemungkinan yang
lain kita dapat menambahkan beberapa suku berikutnya menggunakan bilangan
yang kita kehendaki, misalnya untuk barisan tersebut dapat kita jadikan 2,
4, 6, 10, .... atau 2, 4, 6, 4, 2, .... dan masih banyak lagi.
Menyisipkan
bentuk rumus umum yang diharapkan
Metode ini memungkinkan kita
menyisipkan sembarang suku yang kita kehendaki.
Misal pada barisan bilangan 2,
4, 6, ..., jika kita menghendaki pada rumus umumnya terdapat suku n.sin(90n0)
mak kita dapat mengambil bagian tersebut dari barisan 2, 4, 6, ...,
sehingga muncul barisan 2-1.sin(900), 4-2.sin(1800),
6-3.sin(2700), .... atau barisan bilangan 1, 4, 3, .....
Barisan 1, 4, 3, ... kita
cari kemungkinannya menggunakan algoritma dan hasilnya dijumlahkan dengan n.sin(90n0).
Memecah
masing-masing suku dengan aturan yang dikehendaki
Metode ini memecah masing masing
suku dengan aturan yang sama, kemudian masing-masing pecahan suku kita buat
barisan yang hasilnya kita gabung sesuai aturan pemecahan yang telah kita
gunakan.
Misal 2, 4, 6, .... dapat
kita pecah menjadi 1x2, 2x2, 2x3, ... sehingga muncul dua barisan
yaitu 1, 2, 2, ... dan 2, 2, 3, .... Jika barisan pertama
mempunyai rumus Un1 dan barisan kedua memunyai rumus Un2
maka rumus barisan 2, 4, 6, ... kemungkinan adalah Un =
Un1.Un2
|
Mengembangkan
Algoritma
Keistimewaan yang telah ditunjukkan
barisan polinom yang selalu memberikan barisan selisih suku ke derajatnya
berupa barisan konstanta maka barisan selisih suku berikutnya adalah barisan 0
(nol).
Mengacu pada pengertian tersebut
maka dengan meneliti perilaku barisan selisih suku disaat tanpa barisan
polinom, kemungkinan akan mendapatkan keteraturan, sehingga memungkinkan
membentukan algoritma berlandaskan keteraturan tersebut.
Dalam makalah seminar Menentukan
Rumus Umum Barisan Polinom terdapat contoh algoritma untuk menyertakan sebuah
suku eksponen dalam barisan polinom sebagai berikut:
- Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
- Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan barisan dengan rasio sukunya sama atau rasio sukunya dapat dianggap sama.
- Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan nilai suku awal barisan selisih paling akhir adalah p, maka dimungkinkan barisan utama tersebut mengandung komponen suku eksponen :
- Hapus komponen eksponen yang diperoleh dari langkah ke 3 dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 3.
- Jika barisan tersebut (anggap barisan utama) adalah barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta maka lanjutkan ke langkah terakhir.
- Buat barisan selisih suku terus menerus sampai menghasilkan barisan konstanta atau dapat dianggap konstanta.
- Hitung jumlah barisan selisih suku (misal ada q barisan), dan salah satu suku konstanta yang dihasilkan adalah p, maka dimungkinkan barisan utama tersebut mengandung komponen polinom : .
- Hapus komponen polinom yang diperoleh dari langkah ke 7 dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama dengan nilai masing-masing suku komponen polinom yang diperoleh di langkah 7. Kemudian ulangi dari langkah 5 dengan barisan utama yang baru (setelah dihilangkan komponen polinom yang diperoleh dari langkah 7).
- Kemungkinan rumus umum barisan yang kita cari adalah jumlah semua komponen yang diperoleh di langkah ke 3 , dan 7, serta ditambah salah satu suku barisan konstanta paling akhir (barisan utama baru terakhir).
Misalnya kita mencari kemungkinan
rumus umum barisan 2, 7, 24, 77, 238, ...
- 2, 7, 24, 77, 238, .... bukan barisan konstanta maka,
7-2,24-7,77-24,238-77, ... atau 5,
17, 53, 161, .... barisan selisih suku ke 1
17-5,53-17,161-53, ... atau 12,
36, 108, ... barisan selisih ke 2 kita anggap barisan mempunyai :
|
- ada 2 barisan selisih suku dengan rasio 3 maka kemungkinan mengandung komponen .
- Barisan 3n adalah 3, 9, 27, 81, 243, ... kita hilangkan dari 2, 7, 24, 77, 238 ... akan menghasilkan barisan 2-3,7-9,24-27,238-234,... atau -1, -2, -3, -4, ...
- -1, -2, -3, -4, .... bukan barisan konstanta maka,
-2+1,-3+2,-4+3, ... atau -1, -1,
-1, .... barisan selisih suku ke 1 berupa barisan konstanta
|
- ada 1 barisan selisih suku maka barisan utama mengandung komponen .
- Barisan -n adalah -1, -2, -3, -4, ... hilangkan dari -1, -2, -3, -4, ... hasilnya barisan -1+1,-2+2-3+3,-4+4,... atau 0, 0, 0, 0, ...
- 0, 0, 0, 0, .... adalah barisan konstanta.
Kemungkinan rumus umum barisan 2,
7, 24, 77, 238, ... adalah .
Melihat contoh di atas maka
persoalan Deret aritmatika
dan Deret ukur atau Deret Geometri memungkinkan juga dapat diselesikan
menggunakan algoritma terakhir.
Terima Kasihh.. :))
BalasHapusBermanfaat.. ;))