Operasi Eliminasi Gauss ~ Yudha Triya Blog

Sabtu, 19 Januari 2013

Operasi Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh: Diketahui persamaan linear

$x + 2y + z = 6$

$x + 3y + 2z = 9$

$2x + y + 2z = 12$

Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$

Operasikan Matriks tersebut
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 1 & 3 & 2 & 9\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$ B1 x 1 ,. Untuk mengubah a₁₁ menjadi 1
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 2 & 1 & 2 & 12\\ \end{bmatrix}$ B2 - 1.B1 ,. Untuk mengubah a₂₁ menjadi 0
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$ B3 - 2.B1 ,. Untuk mengubah a₃₁ menjadi 0
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & -3 & 0 & 0\\ \end{bmatrix}$ B2 x 1 ,. Untuk mengubah a₂₂ menjadi 1
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 9\\ \end{bmatrix}$ B3 + 3.B2 ,. Untuk mengubah a₃₂ menjadi 0
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 6\\ 0 & 1 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ \end{bmatrix}$ B3 x 1/3 ,. Untuk mengubah a₃₃ menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

$x + 2y + z = 6$

$y + z = 3$

$z = 3$

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

$y + z = 3$

$y + 3 = 3$

$y = 0$

$x + 2y + z =6$

$x + 0 + 3 = 6$

$x = 3$

Jadi nilai dari $x = 3$ , $y = 0$ ,dan $z = 3$

Sabtu, 19 Januari 2013